April 4, 2017

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By Dietlinde Lau

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. In diese mathematischen Teilgebiete führt Band 1 des zweibändigen Lehrbuchs umfassend ein. Dabei ermöglichen klar herausgearbeitete Lösungsalgorithmen, viele Beispiele und ausführliche Beweise einen raschen Zugang zum Thema. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben hilft bei der Erarbeitung des Stoffs und zeigt darüber hinaus, welche unterschiedlichen Anwendungsmöglichkeiten es gibt. Die three. Auflage wurde korrigiert und erweitert.

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Als Tr¨ agermenge einer Struktur A w¨ ahlen wir A := {a, b, c}. Außerdem sei f A (a) := b, f A (b) := c, f A (c) := a, P A sei durch die Relation {b, c} und QA durch die Relation {(a, a), (b, b), (a, c), (c, b)} induziert. Die drei pr¨ adikatenlogischen Formeln α := P (x) =⇒ Q(f (x), y), β := (∀x P (x)) =⇒ Q(f (x), y) γ := ∀x (P (x) =⇒ (∃y Q(f (x), y)) haben dann die folgenden Wahrheitswerte in der Struktur A, wenn man u(x) := c und u(y) := a setzt: 50 1 Mathematische Grundbegriffe vA,u (α) = P A (u(x)) =⇒ QA (f A (u(x)), u(y)) = P A (c) =⇒ QA (f A (c), a) = P A (c) =⇒ QA (a, a) = 1 =⇒ 1 = 1, vA,u (β) = vA,u ((∀x P (x))) =⇒ vA,u (Q(f (x), y)) vA,u (γ) = (P A (a) ∧ P A (b) ∧ P A (c)) =⇒ QA (a, a) = 1, V = u , u =x u vA,u (P (x) =⇒ (∃y Q(f (x), y))) V W A A A = u , u =x u (P (u (x)) =⇒ ( u , u =y u (Q (f (u (x)), u (y)))) = (P A (a) =⇒ (QA (f A (a), a) ∨ QA (f A (a), b) ∨ QA (f A (a), c))∧ (P A (b) =⇒ (QA (f A (b), a) ∨ QA (f A (b), b) ∨ QA (f A (b), c))∧ (P A (c) =⇒ (QA (f A (c), a) ∨ QA (f A (c), b) ∨ QA (f A (c), c)) = 1.

Die (offenbar falsche) Aussage A: Falls f (0, 2) = 2 und 0 < 2 gilt, ist 2 < 2, 12 Es ist zu empfehlen, sich diesen Abschnitt nach dem Lesen des zweiten Kapitels nochmals anzusehen. Außerdem sollte man sich nicht durch die vielen Formeln abschrecken lassen, sondern sich vielmehr klarmachen, daß mit der Formelsprache vertraute Dinge exakt definiert oder in eine Sprache u ¨ bersetzt werden, die Grundlage von Programmierungen sein k¨ onnen. 2) aufschreibbar, jedoch k¨ onnen wir die Zeichen ∧ und =⇒ nicht als Boolesche Funktionen interpretieren, da f (0, 2) = 2, 0 < 2 und 2 < 2 nicht 0 oder 1 sind.

Dann gilt |A ∪ B| = |B| und, falls A = ∅, |A × B| = |B|. Eine abschließende Bemerkung: Oben wurde gezeigt, daß ℵ0 := |N| die kleinste Kardinalzahl einer unendlichen Menge ist. Außerdem wurde ℵ0 < ℵ1 := |R| bewiesen. , gibt es keine Menge M mit |N| < |M | < |R|? Bereits Cantor vermutete 1884 in der sogenannte Kontinuumshy” pothese“, daß dies so ist, konnte es jedoch nicht beweisen. Die 1963 von P. J. Cohen 9 gefundene Antwort auf die Frage ist u ¨ berraschend: Die Kontinuumshypothese (bzw. die Negation der Kontinuumshypothese) l¨ aßt sich weder beweisen, noch widerlegen.

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